Reglas de derivación: tabla de derivadas y ejemplos resueltos

Entender qué es una derivada es el primer paso; el segundo es poder calcularla rápido y sin errores. Para eso están las reglas de derivación (también llamadas fórmulas de derivación): una tabla corta de derivadas básicas y un puñado de reglas para derivar cualquier función que se arme a partir de esas básicas sumando, multiplicando, dividiendo o componiendo. En esta guía las vemos una por una, con un ejemplo resuelto para cada regla, un ejercicio combinado paso a paso y los errores que más se repiten.

Antes de las reglas: la derivada es un límite

La derivada de una función f en un punto x se define como un límite (si ese límite existe y es finito, decimos que f es derivable en x):

f′(x) = lím (h → 0) [f(x + h) − f(x)] / h

Si sustituís h = 0 obtenés 0/0, la indeterminación que vimos en cómo calcular límites. Con f(x) = x², por ejemplo: [(x + h)² − x²]/h = (2xh + h²)/h = 2x + h, y cuando h → 0 queda f′(x) = 2x.

Hacer esto con cada función sería interminable: las reglas de derivación se demuestran una vez a partir de esta definición y después se aplican directamente. Si todavía no tenés clara la idea de qué mide una derivada (una velocidad de cambio, la pendiente de la tangente), conviene pasar antes por para qué sirven las derivadas.

Tabla de derivadas básicas

Tres comentarios sobre la tabla:

La regla de la potencia también sirve para raíces y potencias negativas. El truco es reescribir antes de derivar: ∛x = x^(1/3), así que su derivada es (1/3)·x^(−2/3) = 1/(3·∛(x²)). Y 1/x³ = x⁻³, cuya derivada es −3x⁻⁴ = −3/x⁴. Ojo con los dominios: las fórmulas de √x y de ln x valen para x > 0.

La base e es especial. Entre las exponenciales aˣ, la de base e es la única que coincide con su derivada, porque ln e = 1. Con cualquier otra base aparece el factor ln a, como en una función de interés compuesto: f(t) = (1,05)ᵗ tiene derivada f′(t) = (1,05)ᵗ·ln 1,05.

Las trigonométricas (sen x y cos x) figuran en la ficha oficial de Cálculo 1 (MC10), en la unidad de función inversa. Si cursás esa materia, tenelas presentes: las reglas que siguen funcionan igual con ellas.

Reglas de derivación de la constante y la suma

Constante por función: (k·f)′ = k·f′. La constante “sale” y se deriva solo la función. Ejemplo: (5x³)′ = 5·3x² = 15x².

Suma y resta: (f ± g)′ = f′ ± g′. Se deriva término a término:

f(x) = 4x³ − 6x² + 2x − 9 → f′(x) = 12x² − 12x + 2

El −9 desaparece porque es una constante. Con estas dos reglas y la de la potencia ya podés derivar cualquier polinomio.

Derivada de un producto y de un cociente

Acá aparece una trampa clásica: la derivada de un producto no es el producto de las derivadas.

Producto: (f·g)′ = f′·g + f·g′. La derivada del primero por el segundo sin derivar, más el primero sin derivar por la derivada del segundo.

Ejemplo: p(x) = x²·eˣ. Con f = x² (f′ = 2x) y g = eˣ (g′ = eˣ):

p′(x) = 2x·eˣ + x²·eˣ = eˣ(x² + 2x)

Otro ejemplo: (x·ln x)′ = 1·ln x + x·(1/x) = ln x + 1.

Cociente: (f/g)′ = (f′·g − f·g′)/g², donde g ≠ 0. Acá el orden importa: por el signo de menos, si invertís los términos del numerador el resultado cambia de signo.

Ejemplo: p(x) = (2x + 1)/(x − 3). Con f = 2x + 1 (f′ = 2) y g = x − 3 (g′ = 1):

p′(x) = [2·(x − 3) − (2x + 1)·1]/(x − 3)² = (2x − 6 − 2x − 1)/(x − 3)² = −7/(x − 3)²

Fijate en el paréntesis de (2x + 1): el signo de menos afecta a todo el término.

Un atajo: no todo cociente pide la regla del cociente. Si el denominador es una constante, (x² + 1)/5 = (1/5)·(x² + 1) y la derivada es 2x/5. Si el numerador es constante, conviene reescribir como potencia: 3/x² = 3x⁻², cuya derivada es −6x⁻³ = −6/x³.

Regla de la cadena (derivada de la función compuesta)

La regla de la cadena se usa cuando hay una función “adentro” de otra, como en (3x² + 1)⁵, e^(x²) o ln(x² + 4):

[f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x)

En palabras: derivás la función de afuera dejando intacta la de adentro, y multiplicás por la derivada de la de adentro.

Ejemplo: p(x) = (3x² + 1)⁵. La de afuera es “algo a la quinta” y la de adentro es 3x² + 1, con derivada 6x:

p′(x) = 5(3x² + 1)⁴·6x = 30x(3x² + 1)⁴

Desarrollar la potencia quinta y derivar el polinomio también funciona, pero es largo y propenso a errores de cuentas.

Combinando la cadena con la tabla, si u es una función de x:

Ejemplo combinado paso a paso

Derivemos f(x) = x·√(x² + 9), que pide producto y cadena a la vez.

1. Identificá la estructura. Es un producto: x por √(x² + 9).
2. Derivá cada factor. La derivada de x es 1. Para √(x² + 9) usamos la cadena: 2x/(2√(x² + 9)) = x/√(x² + 9).
3. Aplicá la regla del producto. f′(x) = 1·√(x² + 9) + x·x/√(x² + 9).
4. Simplificá con denominador común. f′(x) = [(x² + 9) + x²]/√(x² + 9) = (2x² + 9)/√(x² + 9).

Para controlar, evaluá en x = 4, donde √(16 + 9) = 5: f′(4) = (32 + 9)/5 = 41/5 = 8,2. Cuando practiques con calculadora, compará ese valor con la pendiente de la secante entre dos puntos muy cercanos: [f(4,001) − f(3,999)]/0,002 ≈ (20,00820 − 19,99180)/0,002 = 8,2. Si los dos números no se parecen, hay un error en la derivada.

Una aplicación: costo medio y costo marginal

Supongamos que el costo total de producir x unidades es C(x) = x² + 10x + 400, en miles de pesos.

• El costo marginal sale con las reglas de la suma y de la potencia: C′(x) = 2x + 10.
• El costo medio es CMe(x) = C(x)/x, y para derivarlo usamos la regla del cociente:

CMe′(x) = [(2x + 10)·x − (x² + 10x + 400)·1]/x² = (x² − 400)/x²

Como el denominador x² es positivo, el signo de CMe′ lo da el numerador: para x > 0, x² − 400 es negativo si x < 20, se anula en x = 20 y es positivo si x > 20. El costo medio baja hasta las 20 unidades y después sube: su mínimo está en x = 20. Ahí CMe(20) = (400 + 200 + 400)/20 = 50 y C′(20) = 2·20 + 10 = 50. Costo medio y costo marginal valen lo mismo: $ 50.000 por unidad.

No es casualidad. Para cualquier función de costo derivable, la regla del cociente da CMe′(x) = [x·C′(x) − C(x)]/x², que se anula justo cuando C′(x) = C(x)/x, es decir, cuando el costo marginal iguala al costo medio. Un resultado clásico de microeconomía que sale en una línea.

Errores frecuentes al derivar

1. Derivar un producto multiplicando las derivadas.

• ✗ (x²·eˣ)′ = 2x·eˣ.
• ✓ (x²·eˣ)′ = 2x·eˣ + x²·eˣ. Una prueba rápida de que el atajo no sirve: x·x = x², cuya derivada es 2x, pero multiplicando las derivadas daría 1·1 = 1.

2. Olvidar la derivada de adentro en la regla de la cadena.

• ✗ [(3x² + 1)⁵]′ = 5(3x² + 1)⁴, o (e^(2x))′ = e^(2x).
• ✓ Falta multiplicar por la derivada de adentro: 30x(3x² + 1)⁴ y 2e^(2x).

3. Equivocarse en la regla del cociente.

• ✗ [(2x + 1)·1 − 2·(x − 3)]/(x − 3)² = 7/(x − 3)², o derivar numerador y denominador por separado: 2/1.
• ✓ Primero va la derivada del numerador: el resultado correcto es −7/(x − 3)². Con el signo cambiado, concluirías que la función crece donde en realidad decrece.

4. Usar la regla de la potencia cuando la x está en el exponente.

• ✗ (2ˣ)′ = x·2ˣ⁻¹.
• ✓ La regla de la potencia es para xⁿ con exponente fijo. Si la variable está en el exponente, es una exponencial: (2ˣ)′ = 2ˣ·ln 2.

5. Derivar constantes que parecen funciones.

• ✗ (e²)′ = 2e o (ln 5)′ = 1/5.
• ✓ e², ln 5 y π son números: su derivada es 0.

Para cerrar

Estas reglas no son un fin en sí mismas: son la herramienta que vas a usar en todo lo que sigue. En Cálculo 1A el cálculo de derivadas llega después de límites y continuidad, y es la base del resto del curso: crecimiento y decrecimiento, optimización, funciones marginales y elasticidad de la demanda. En Cálculo 1 (MC10, de un semestre y 10 créditos), la primera unidad del programa ya incluye el cálculo de derivadas y la regla de la cadena. Y Cálculo 1B, que tiene a 1A como previa, las necesita en la derivada de la función inversa, en el polinomio de Taylor y, al revés, en la integración por sustitución.

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¿Se te complican las derivadas? En Delta Academia las practicamos con ejercicios tipo parcial, paso a paso. Escribinos.